《机械传动》年第43卷第3期
文章编号：-（）03--04
DOI：10./j.issn....03.引用格式：汪龙,刘博,张加波,等.谐波齿轮减速器间隙空程分析[J].机械传动,,43(3):-.WANGLong,LIUBo,ZHANGJiabo,etal.Analysisofthegapclearanceofharmonicgearreducer[J].JournalofMechanicalTransmission，,43(3):-.谐波齿轮减速器间隙空程分析汪龙刘博张加波李红星王青（北京卫星制造厂有限公司，北京）摘要谐波齿轮减速器的间隙空程来源复杂，是影响机构运动精度的主要因素。根据谐波减速器的工作原理分析，引起间隙空程的主要因素是零件扭转变形（柔轮和输出轴）、柔轮刚轮齿侧间隙和柔性轴承的径向游隙；运用渐开线、材料力学和刚度等理论，建立了间隙空程与上述因素的数学模型；开展了某种谐波减速器的间隙空程测试，实测结果与理论计算值吻合。关键词谐波齿轮间隙空程柔性轴承径向游隙0引言
谐波减速器是基于弹性变形理论的一种减速器，具有传动比大且范围宽、同时啮合齿对数多、齿面磨损小、传动效率高、传动精度高、间隙空程小等特点[1]，被广泛应用于航空航天、仪器仪表、智能机器人等精密领域[2-4]。机械间隙空程使谐波传动系统的输出轴与输入轴之间存在非线性关系，是影响机构控制精度的主要因素[5-6]。因此，有必要对谐波减速器的间隙空程进行深入研究。
李西键提出谐波减速器的传动误差主要与零件的几何偏心、运动偏心及基节误差相关[7]。沙晓晨、万庆祝等认为侧隙对于谐波传动误差的影响主要体现在间隙空程上，影响由运动副之间的间隙引起的间隙空程和负载在输出轴系上引起的间隙空程相加而得[8-9]。李俊阳、王俊等建立的谐波减速器间隙空程模型考虑了柔性轴承径向游隙的影响[10-11]，但是该公式采用系数修正，没有完全反映其中的物理意义。
综上所述，谐波减速器间隙空程的影响因素较多，本文中通过分析齿侧间隙、柔性轴承径向游隙、零件刚度对间隙空程的影响，建立了间隙空程的数学模型，并通过计算获得了其变化规律。
1谐波减速器间隙空程的影响因素
间隙空程是指在一定负载转矩的作用下，谐波减速器输出轴正反向加载时产生的最大角度差。在谐波减速器的输出轴正反向加载的切换过程中，由于输出轴和柔轮部件的弹性扭转变形，会使输出角度产生间隙空程。柔轮刚轮轮齿的啮合需要一定侧隙，其设计时预留的齿侧间隙也会导致正反向加载切换过程中产生间隙空程，波发生器的柔性轴承由于存在径向游隙，使得柔轮和刚轮轮齿的啮合深度变浅，从而加大了轮齿啮合的齿侧间隙，也会使谐波减速器产生间隙空程。对于谐波减速器来说，引起间隙空程的因素有以下4类：①输出轴的扭转弹性变形引起的间隙空程。②柔轮的扭转弹性变形引起的间隙空程。③柔轮刚轮齿侧间隙引起的间隙空程。④柔性轴承的径向游隙引起的间隙空程。
故谐波减速器间隙空程的表达式为
式中，Δbl1为输出轴的扭转弹性变形引起的间隙空程；Δbl2为柔轮的扭转弹性变形引起的间隙空程；Δbl3为柔轮刚轮齿侧间隙引起的间隙空程；Δbl4为柔性轴承的径向游隙引起的间隙空程。
其中，输出轴的扭转弹性变形引起的间隙空程为
柔轮的扭转弹性变形引起的间隙空程为
式中，TL为谐波减速器输出端所受负载；Ke为输出轴刚度；Kb为柔轮刚度。
输出轴和柔轮的刚度计算可参考材料力学等相关文献[12-13]，本文不详细叙述。
2间隙空程与柔轮刚轮齿侧间隙的关系模型
柔轮轮齿和刚轮轮齿之间会存在一定的间隙，齿轮副的侧隙有两种表示方法：法向侧隙jbn和圆周侧隙jwt，如图1所示。
图1齿侧间隙对传动误差的影响
理论上，法向侧隙jbn和圆周侧隙jwt存在关系
设该谐波减速器齿廓未进行变位，即刚轮的分度圆与刚轮柔轮啮合的节圆重合，则可推导出齿侧间隙引起的间隙空程为
式中，m为轮齿的模数；z1为柔轮轮齿齿数；jbn为法向侧隙；α为齿廓工作压力角。
3间隙空程与柔性轴承游隙的关系模型
谐波三大件由柔轮、刚轮、柔性轴承和凸轮组成。理论上柔性轴承内圈和外圈为两个形状相同，大小不同的椭圆，但由于轴承间隙的存在，柔性轴承的外圈长短径之比小于内圈长短径之比，如图2所示。柔性轴承外圈变形不到位导致柔轮轮齿与刚轮轮齿啮合不完全，即柔轮轮齿会远离理论位置，间接导致齿侧间隙变大，可将该问题等效为内齿轮啮合中心距变动引起的齿侧间隙变大。
图2柔性轴承游隙影响示意图
假设柔轮轮齿为一外齿轮1，刚轮轮齿为一内齿轮2，在柔性轴承无游隙时该齿轮副是无侧隙啮合的，而在游隙存在时，相当于缩小了外齿轮和内齿轮的中心距，使该齿轮副产生侧隙。图3和图中双点划线分别表示中心距未变动前的外齿轮1的齿廓和其基圆，当中心距缩小了Δa以后其啮合角会发生变化，由图3的直角梯形可以推出改变后的啮合角为
式中，rb1为柔轮的基圆半径；rb2为刚轮的基圆半径。
如图4所示，中心距缩小后，在两个齿轮的基圆公切线的方向上会出现左右对称分布的大小为jbn′的法向侧隙，即
图3柔性轴承游隙影响理论分析
将MP和NP所在直线重新绕在基圆上，则M会沿着内齿轮左侧齿廓落在内齿轮基圆上的M′上，P会沿着虚线所示的渐开线落在内齿轮基圆上的P3上，根据渐开线的性质，同理可以得到所以，同理，根据渐开线的性质可得
式中，eb2为内齿轮2的基圆齿槽宽；sb1为外齿轮1的基圆齿轮厚。
图4柔性轴承游隙影响理论分析局部放大图
根据基圆齿厚的公式可得
根据式（6）和式（7），可以推得
由上文可知，柔性轴承游隙引起的间隙空程为
中心距缩小量Δa和柔性轴承游隙c的关系为由图3中的直角梯形可以推出改变后的啮合角将该关系式代入式（10）中的α′，即可得到传动误差和柔性轴承游隙的关系式。
4间隙空程测试与分析4.1间隙空程试验
为了验证上述模型，选取4件同规格40型谐波减速器进行了间隙空程测试，谐波减速器的主要参数如表1所示。测试时将谐波减速器输入轴固定，在输出轴沿正反向分别加载0.5N?m，测试结果分别为86″、″、″、92″，测试数据详见表2，测试装置如图5所示。
4.2间隙空程理论计算值
（1）零件（输出轴Δbl1和柔轮Δbl2）扭转变形引起的间隙空程：经过计算，柔轮和输出轴串联的刚度为1.8×（N?m）/rad，在±0.5N?m力矩作用下，对应的间隙空程为11.5"。
表1谐波齿轮减速器相关参数
表2谐波齿轮减速器间隙空程测试结果
图5谐波减速器间隙空程测试图
（2）柔轮刚轮齿侧间隙引起的间隙空程：柔轮刚轮齿侧间隙从1～8μm逐个选取侧隙值，根据式（5）可以计算间隙空程如表3。试验件的柔轮刚轮齿侧间隙为2～4μm，对应的间隙空程为22.0′′～43.9′′。
表3△bl3的系列解
（3）柔性轴承游隙引起的间隙空程：柔性轴承游隙取一系列值，根据式（10）可以计算间隙空程如表4。经查阅齿轮手册[14]，试验件所用的柔性轴承游隙约为10～15μm，对应的间隙空程为33.6″～46.9″。
表4△bl4的系列解
将零件（输出轴Δbl1和柔轮Δbl2）扭转变形、柔轮刚轮齿侧间隙和柔性轴承游隙引起的间隙空程相加可知，谐波齿轮的间隙空程区间约为（67.1"，.3"）。
5结论
（1）4件试验件的间隙空程实测值（86"，"，"，92"）和理论值区间（67.1"，.3"）基本一致，表明本文中得出的谐波齿轮减速器间隙空程计算公式可以满足工程实际需求。
（2）零件（柔轮和输出轴）刚度、钢轮和柔轮的齿侧间隙和柔性轴承游隙是引起谐波齿轮减速器间隙空程的三大主要因素。
（3）当谐波减速器输出端受到负载时，柔轮和输出轴的扭转变形对于间隙空程的影响较大。
（4）试验件中柔轮刚轮齿侧间隙和柔性轴承的游隙对回差的影响基本相同。
参考文献
［1］沈允文，叶庆泰.谐波齿轮传动的理论和设计［M］.北京：机械工业出版社，：12-15.［2］王康，张沛.采样机械臂关节月表环境适应性设计［J］.航天器环境工程，（5）：-.［3］GIBBSG，SACHDEVS.CanadaandtheInternationalSpaceStationprogram：overviewandstatus［J］.ActaAstronautica，，51（1）：-.［4］RICHARDF.ConcurrentactuatordevelopmentfortheMarsexplorationroverinstrumentdeploymentdevice［C］//10thEuropeanSpaceMechanismsTribologySymposium.Sebastian，Spain，：-.［5］周勇，张剑.数传跟踪天线驱动控制建模与仿真［J］.中国空间科学技术，（6）：31-37.［6］HANBC，MAJJ，LIHT.Modelingand
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